taban (lineer cebir) ne demek?

Lineer cebirde, taban, bir vektör uzayını tanımlamak için yeterli vektör kümesidir. Bir vektör uzayının alt kümesi bu uzayın tabanıysa, 'nin tüm elemanları 'nin elemanlarının biricik sonlu doğrusal birleşimleri şeklinde yazılabilir. Bu doğrusal birleşimlerin katsayıları, vektörün üzerindeki bileşenleri ya da koordinatları olarak adlandırılır. Taban 'nin elemanlarına taban vektörleri denir.

Başka bir deyişle, eğer 'nin elemanları doğrusal olarak bağımsızlarsa ve 'nin tüm elemanları bunların birer doğrusal birleşimiyse, 'nin tabanıdır.¹ Daha genel terimlerle, bir taban doğrusal olarak bağımsız bir germe kümesidir.

Bir vektör uzayının birçok tabanı olabilir; ancak tüm tabanlar aynı sayıda öğeye sahiptir ve bu sayıya vektör uzayının boyutu denir.

Tanım

Bir vektör uzayının alanı (mesela gerçel sayılar R ya da karmaşık sayılar C) üzerinde tanımlı tabanı, 'nin doğrusal olarak bağımsız alt kümesidir ve 'yi gerer. Yani aşağıdaki iki koşulu sağlıyorsa tabandır:

• doğrusal bağımsızlık özelliği:

'nin her sonlu alt kümesi {v₁, …, v_m} için, eğer bazı c₁, …, c_m(∈F) katsayıları için c₁v₁ + ⋯ + c_mv_m = 0 ise c₁ = ⋯ = c_m = 0 olmalıdır;

• germe özelliği:

Her v(∈V) vektörü için, v = a₁v₁ + ⋯ + a_nv_n eşitliğini sağlayan a₁, …, a_n(∈F) katsayıları ve v₁, …, v_n(∈B) vektörleri bulunabilir.

a_i skalerleri vektörünün tabanındaki koordinatları olarak adlandırılır ve birinci özellik uyarınca biriciktir.

Sonlu tabana sahip bir vektör uzayı sonlu-boyutludur. Bu durumda, doğrusal bağımsızlık özelliğine bakılırken alt kümeye değil 'nin kendisine bakılır.

Sıklıkla taban vektörlerin sıralanması tercih edilir. Bu, özellikle oryantasyondan bahsedilirken ya da bir vektörün katsayıları tabanla eşleştirilirken anlatımı kolaylaştırır. Sıralanmanın tercih edildiği durumlara sıralı taban denir ve küme yerine dizi ya da benzeri bir nesneyle gösterilir.

Örnek

• Gerçel sayıların sıralı ikililerinden oluşan kümesi, bileşen toplamı

(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d),

ve skaler çarpım

λ(a,b) = (λ**a,λ**b), (λ ∈ R)

için bir vektör uzayıdır. Bu vektör uzayının basit bir tabanı, ya da standart tabanı, iki vektörden oluşur: ve . Çünkü, herhangi bir vektör ∈ şu şekilde yazılabilir:

v = a**e₁ + b**e₂.

'nin tabanı olabilecek bir diğer vektör kümesi ve 'den oluşur. Bu iki vektör bağımsızdır ve 'deki tüm vektörleri oluşturabilirler.

Kaynakça

Orijinal kaynak: taban (lineer cebir). Creative Commons Atıf-BenzerPaylaşım Lisansı ile paylaşılmıştır.

Footnotes

1. ↩

Kategoriler